Este trabalho apresenta uma técnica numérica baseada no método difusional para analisar opções de barreira através da equação de Black-Scholes. Os modelos mais importantes de engenharia financeira são baseados nas equações de Black-Scholes e são usados para predizer o retorno de opções financeiras e, assim, ajudar nos processos de tomada de decisão. As equações de Black-Scholes são equações parabólicas hiperbólicas, com variáveis e parâmetros estocásticos. Adaptações no modelo original levaram a um conjunto de equações diferenciais parciais não lineares essencialmente equivalentes á equação de convecção-difusão da engenharia. Este trabalho mostra a aplicação do método difusional de diferenças finitas, proposto recentemente, para resolver as equações fundamentais de Black-Scholes, quando aplicada a várias opções financeiras dependentes do caminho (tipo de aplicação no tempo). Por comparação com soluções analÃticas disponÃveis, os resultados mostram que o método difusional permite analisar de maneira acurada opções de barreiras dependentes do caminho e outros problemas correlatos de engenharia financeira. Devido á sua simplicidade e acurácia, o método de diferenças finitas difusional compete favoravelmente com outros esquemas de diferenças finitas.
This paper presents a numerical technique based on the diffusional method for analyzing financial barrier options by means of Black-Scholes equation. The most important models of financial engineering are based on Black-Scholes equations, and are used to predict the outcome of financial options and, thus, help in decision-making processes. Black-Scholes equations consist of a set of parabolic hyperbolic equations with stochastic variables and parameters. Improvements on the original model lead to a set of non-linear partial differential equations essentially equivalent to the engineering convection-diffusion equation. This paper shows the application of the recently developed diffusional finite difference method to solve the fundamental Black-Scholes equations, as applied to several path-dependent financial options. By comparison with available analytical solutions, the results show that the diffusional method allows to accurately analyze path-dependent barrier options and other related problems of financial engineering. Due to its simplicity and accuracy, the diffusional finite difference method competes very favorably with other finite difference schemes.
