A dinâmica topológica induzida por inversões geométricas no plano complexo já foi abordada e os resultados foram apresentados por Vieira et al. (2017). Posteriormente, foi verificado que, para uma coleção com três inversões, o espaço de parâmetros das medidas de Markov com suporte no atrator do sistema é um subconjunto aberto de R^3 folheado por superfícies de nível compactas definidas pela entropia métrica: superfícies isentrópicas (VIEIRA et al., 2018). O objetivo deste artigo é usar a Teoria de Morse para descrever a geometria global dessas superfícies. Como funções dos níveis, provamos que a área e o diâmetro tendem a zero e que a curvatura Gaussiana é ilimitada, quando os níveis se aproximam do nível crítico (entropia máxima). Em particular, demonstramos que existe um intervalo aberto maximal de níveis para os quais as superfícies são ovalóides.
The topological dynamics induced by geometric inversions in the complex plane has already been addressed and the results were presented by Vieira et al. (2017). Subsequently, it was proved that, for a set of three inversions, the parameter space of the Markov measure supported by the attractor of the system is an open subset in R^3 clad by compact level surfaces defined by metric entropy: isentropic surfaces (VIEIRA et al., 2018). The purpose of this article is to use Morse Theory to describe the global geometry of those surfaces. As functions of the levels, we proved that the area and diameter tend to zero and that the Gaussian curvature is unbounded, when the levels approach the critical level (maximum entropy). In particular, we demonstrated that there is a maximal open range of levels for which the surfaces are ovaloid.
