Neste trabalho, mostraremos a existência de uma solução fraca para um problema elítptico semilinear utilizando como ferramenta principal o Teorema de Browder-Minty. Primeiro, faremos uma breve introdução sobre a teoria básica dos Espaços de Sobolev com o objetivo de fundamentar nosso estudo e fornecer ferramentas suficientes para o desenvolvimento do nosso trabalho. Em seguida, faremos uma abordagem rápida sobre o Teorema de Browder-Minty e utilizaremos esse resultado para mostrar a existência de pelo menos uma solução fraca para um problema de Equações Diferenciais Parciais (EDP) elípticas cuja não-linearidade, denotada por f, é uma função conhecida. Para isso, além do resultado já mencionado, também utilizaremos como ferramentas de estudo: Teoremas de Imersão de Sobolev, Teoria dos Operadores Lineares e Contínuos, Desigualdade de Poincaré e Desigualdade de Hölder.
In this work, we will show existence of weak solution for a semilinear elliptic problem using as main tool the Browder-Minty Theorem. First, we will make a brief introduction about basic theory of the Sobolev Spaces to support our study and provide sufficient tools for the development of our work. Then we will take a quick approach on the Browder-Minty Theorem and use this result to show the existence of at least one weak solution to an elliptic Partial Differential Equations (PDE) problem whose nonlinearity, denoted by f, is a known function. For this, in addition to the already mentioned results, we will also use as study tools: Embedding Sobolev Theorems, Linear Continuous Operators Theory, Poincaré Inequality and Hölder Inequality.
