ALEAE INTERRUPTAE: UMA CURIOSA APLICAÇÃO DO TRIÂNGULO DE PASCAL
BOLETIM CEARENSE DE EDUCAÇÃO E HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
ALEAE INTERRUPTAE: UMA CURIOSA APLICAÇÃO DO TRIÂNGULO DE PASCAL
Autor Correspondente: John Andrew Fossa | [email protected]
Palavras-chave: História e Filosofia da Matemática; Educação Matemática; Triângulo de Pascal; Demonstração Matemática.
Resumos Cadastrados
Resumo Português:
O presente artigo objetiva, através de uma análise linguística e matemática, fazer uma breve explanação de certos aspetos do Triângulo Aritmético (Triângulo de Pascal), conforme a abordagem de Blaise Pascal (1623-1662) no seu Tratado sobre o Triângulo Aritmético. Especificamente, investiga-se uma das várias aplicações do referido Triângulo, a saber, como dividir a aposta de um jogo de soma zero, caso for necessário interromper o mesmo antes de chegar à sua conclusão. Apresenta-se um método para fazer a divisão sem usar o Triângulo (como apresentado por Pascal) e, então, o método de Pascal por fazer a mencionada divisão usando o Triângulo, pois a demonstração deste método depende daquele. Finalmente, analisa-se a demonstração dada por Pascal de que o seu método usando o Triângulo é válido, pois a referida demonstração é uma das primeiras na história em que a Indução Matemática foi formulada corretamente. Concluímos que a formulação do argumento por Indução Matemática é, de fato, correta e que a base da indução é bem-feita. O passo da indução, ou seja, a passagem do n-ésimo caso para o n+1-ésimo caso, porém, não é válido pelos padrões lógicos modernos porque não é feito com a generalidade necessária. Também concluímos, porém, que Pascal certamente considerava sua demonstração válida, pois considerava o caso abordado como um template que é aplicável a todos os casos da demonstração.
Resumo Inglês:
The present article proposes to make, by a linguistic and mathematical analysis, a brief explanation of certain aspects of the Arithmetic Triangle (Pascal’s Triangle), as it was set out by Blaise Pascal (1623-1662) in his Treatise on the Arithmetic Triangle. Specifically, one of the various applications of the aforementioned Triangle, that of how to divide a wager in a zero sum game, when it is necessary to interrupt the game before reaching its conclusion, is analyzed. Following Pascal, a method for making the division without using the Triangle is presented first and then Pascal’s method of making the division using the Triangle is set out, since the demonstration of the latter depends on that of the former. Finally, the demonstration of the validity of Pascal’s method of making the division is analyzed, given that this demonstration is one of the first in history in which Mathematical Induction is formulated correctly. We conclude that the formulation of the argument by Mathematical Induction is indeed well formulated and that the base of the induction is correct. The induction step, that is, the passage from the nth case to the n+1st case, however, is not valid according to modern standards of logic, because it is not done with the necessary level of generalization. We also conclude, however, that Pascal certainly considered his argument valid because he considered the case given by him to be a template that could be applied to all the cases in the Triangle.
