Substituir uma expressão ou uma representação por outra, que lhe é referencialmente equivalente, é central na
atividade matemática. Diferentemente do funcionamento natural do pensamento, este processo de substituição
não se situa na semelhança entre o conteúdo da expressão ou representação dada e o conteúdo da expressão que
substituÃmos para resolver um dado problema. Esta substituição constitui em um percalço. Passa-se de uma frase
para uma expressão simbólica, de uma representação gráfica para uma expressão simbólica ou de uma figura a
outra que é de toda diferente. Em certos casos, entre os conteúdos a serem substituÃdos, existe uma
correspondência direta e fácil de ser reconhecida. Para caracterizar esta situação cognitiva, falamos de
congruência semântica. Mas, na maioria dos casos, não há alguma relação de correspondência direta e os
conteúdos parecem ser estranhos ou irreconhecÃveis. Neste caso, falamos de não congruência semântica. É a
situação cognitiva de toda atividade matemática. Este artigo, chamará a atenção, inicialmente, para a não
congruência semântica que origina custos cognitivos importantes em atividades evidentes na determinação da
posição de dois objetos, um em relação ao outro. As dificuldades matemáticas para reconhecer e compreender o
processo de substituição por equivalência referencial, vêm, inicialmente, da não congruência semântica. Será
realizada uma análise sobre uma gama de problemas elementares, que utilizam conhecimentos matemáticos
bastante diferentes, em que sistematicamente os alunos têm dificuldades em resolvê-los e são bem conhecidos
pelos professores. Para finalizar, serão abordadas duas questões essenciais que traz à tona a diferença entre o
funcionamento natural do pensamento e a maneira que é própria dos matemáticos. Como descrever o
funcionamento cognitivo dos matemáticos? Isto é crucial para tornar os alunos capazes de compreender a
matemática, uma vez que a não congruência semântica não está relacionada a alguma dificuldade conceitual e
que o processo de substituição, por equivalência, não é uma codificação2. Em função de quais objetivos
prioritários o ensino de matemática deve ser organizado?
Substituting an expression or representation to another, which is referentially equivalent, is the core of
mathematical activity. Unlike the natural functioning of thinking, this substitution process does not based on any
similarity between the content of the expression or representation given and the one by which it has to be
replaced in order to solve a problem. It is the jump from one sentence to a symbolic expression or graph to
symbolic expression or figure to another that looks quite different. In some cases, between the two contents to be
substituted, there are direct mappings easy to recognize. We call this cognitive situation semantic congruence.
But in most of the cases, there is no direct mapping and both contents are opposing or diverging. We then call
this cognitive situation semantic non-congruence. It is the cognitive situation in which any mathematical activity
runs.
In this paper, we first show that semantic non-congruence leads to significant cognitive costs in the most obvious
task of checking the position of two elements one relative to the other. Most troubles in mathematics learning to
recognize and understand the process of substitution by referential equivalence stem first of all from semantic
non-congruence. We analyze a range of elementary tasks and problems about quite different mathematical
knowledge, which all lead to systematic and recurrent failures well known by teachers. Finally we discuss the
two issues that this gap between the natural functioning of thinking and the way of thinking specific to
mathematics raises. How to describe the cognitive functioning specific to mathematics? Because it is crucial to
make students able to understand mathematics, since the semantic non-congruence is not at all related to a
conceptual difficulty and the process by referential substitution is not an encoding4. According to which priority
goals mathematics education for all pupils should be organized?
Substituer une expression, ou une représentation, à une autre qui lui est référentiellement équivalente est au coeur
de l’activité mathématique. A la différence de fonctionnement naturel de la pensée, ce processus de substitution
ne repose sur aucune ressemblance entre les contenus de l’expression ou de la représentation donnée et de celle
qu’on y substitue pour pouvoir résoudre un problème. Elle constitue un saut. On passe d’une phrase à une
expression symbolique, d’une représentation graphique à une expression symbolique ou d’une figure à une autre
qui est toute différente. Dans certains cas, entre les deux contenus à substituer, il y a des mises en
correspondances directes et faciles à reconnaître. Pour caractériser cette situation cognitive nous parlerons de
congruence sémantique. Mais dans la plupart des cas, il n’y a aucune mise en correspondance directe et les deux
contenus semblent s’opposer ou diverger. Nous parlerons alors de non congruence sémantique. C’est la situation
cognitive de toute activité mathématique.
Dans ce papier nous rappellerons d’abord que la non congruence sémantique entraîne des coûts cognitifs
importants dans une tâche évidente de vérification de la position de deux éléments l’un par rapport à l’autre. Les
difficultés dans l’apprentissage des mathématiques à reconnaître et à comprendre le processus de substitution par
équivalence référentielle viennent d’abord de la non congruence sémantique. Nous analyserons une gamme de
problèmes élémentaires qui font appel à des connaissances mathématiques très différentes. Ils donnent tous lieu Ã
des échecs systématiques et récurrents qui sont bien connus par les enseignants. Pour finir nous aborderons les
deux questions essentielles que soulève cet écart entre le fonctionnement naturel de la pensée et la manière de
pensée propre aux mathématiques. Comment décrire le fonctionnement cognitif propre aux mathématiques? Car
cela est crucial pour rendre les élèves capable de comprendre les mathématiques, puisque la non congruence
sémantique n’est aucunement liée à une difficulté conceptuelle et que le processus de substitution par
équivalence référentielle n’est pas un codage3. En fonction de quels objectifs prioritaires un enseignement des
mathématiques pour tous les élèves doit-il être organisé?
