Geometria de Laguerre e hipersuperfícies de Dupin com curvaturas de Laguerre constantes em R^(n+1)

Ano: 2020 | Volume: 1 | Número: 2

Autores: F. A. Caixeta, L. M. D. Á. Rodrigues

Palavras-chave: geometria de Laguerre, hipersuperfície de Dupin, curvaturas de Laguerre, hipersuperfície isoparamétrica de Laguerre.

Resumo Português:

Neste trabalho, apresentamos os resultados estudados em Caixeta e Rodrigues [4]. Inicialmente, estudamos a geometria das esferas orientadas em Rn+1 tendo como base o trabalho de Cecil [1], e a geometria de Laguerre no espaço Euclidiano, de acordo com o artigo de Li e Wang [6]. Posteriormente, considerando Mn⊂Rn+1 uma hipersuperfície orientável com r curvaturas principais distintas ( r≥3) e não nulas, apresentamos uma caracterização obtida por Li e Wang [7], em termos dos invariantes de Laguerre, das hipersuperfícies de Dupin com curvaturas de Laguerre constantes. Apresentamos ainda o resultado de classificação das hipersuperfícies de Dupin com curvaturas de Laguerre constantes proposto por Li e Wang [7], que consiste em mostrar que uma hipersuperfície de Dupin com curvaturas de Laguerre constantes é Laguerre equi valente a uma hipersuperfície isoparamétrica de Laguerre plana. Em um contexto um pouco diferente do até então estudado, considerando uma hipersuperfície de Dupin própria em Rn+1, que admite um sistema de coordenadas principais com n curvaturas principais distintas e não nulas, Cezana e Tenenblat [2] apresentaram uma caracterização das hipersuperfícies de Dupin em Rn+1, n≥3, com todas as curvaturas principais distintas e curvaturas de Laguerre constantes, que admite uma parametrização por linhas de curvatura, em termos de seus raios de curvatura e de sua primeira forma fundamental. Assim, utilizando esse resultado, Cezana e Tenenblat [2] apresentaram explicitamente todas essas hipersuperfícies que possuem curvaturas de Laguerre constantes. 

Resumo Inglês:

In this work, we present the results studied in Caixeta e Rodrigues [4]. Initially, we studied the geometry of the oriented spheres in Rn+1 based on the work of Cecil [1], and the Laguerre geometry in the Euclidean space, according to the article by Li e Wang [6]. Subsequently, considering Mn⊂Rn+1 an oriented hypersurface with r (r≥3) distinct nonvanishing principal curvatures, we present a characterization obtained by Li e Wang [7], in terms of Laguerre invariants, of Dupin hypersurfaces with constant Laguerre curvatures.We also present the classification result of the Dupin hypersurfaces with constant Laguerre curvatures proposed by Li e Wang [7], which consists in showing that a Dupin hypersurfaces with constant Laguerre curvatures is Laguerre equivalent to a flat Laguerre isoparametric hypersurface. In a slightly different context from the one studied so far, considering a proper Dupin hypersurfaces of the Euclidean space Rn+1, that admit principal coordinate systems and have n distinct nonvanishing principal curvatures Cezana e Tenenblat [2] presented a characterization of Dupin hypersurfaces in Rn+1, n≥3, with all the distinct principal curvatures and constant Laguerre curvatures, that is param/etrized by lines of curvature, in terms of the radius of curvature and their first fundamental form. So, using this result Cezana e Tenenblat [2] showed explicitly all such hypersurfaces that have constant Laguerre curvatures.