Uso da combinação linear de soluções físicas no estudo da natureza do ponto estacionário da ação

Ano: 2020 | Volume: 1 | Número: 1

Autores: F. P. dos Reis, E. A. y Castro, U. O. Pereira, P. H. Menezes

Palavras-chave: mecânica clássica, ação, princípio de Hamilton, cálculo funcional.

Resumo Português:

O princípio de Hamilton afirma que, dentre todas as curvas entre dois extremos fixos, o caminho que é realmente seguido por um sistema físico será aquele que atribui um valor estacionário (pontos mínimos, máximos ou de sela) à ação (uma integral no tempo da diferença entre a energia cinética e a energia potencial, tomada entre o tempo inicial e o tempo final em que sistema funciona). É comum usar uma ferramenta matemática chamada Cálculo de Variacional para estudar o princípio de Hamilton. O Cálculo Variacional lida com funcionais (funções das funções) e é uma versão mais geral e mais complexa do cálculo usual que aprendemos na graduação. Neste artigo, apresentamos uma abordagem alternativa e mais simples ao estudo do princípio de Hamilton. Estudamos a natureza do movimento estacionário da ação de três sistemas físicos: partícula livre, lançamento vertical e oscilador harmônico, usando como movimento virtual uma combinação linear da solução física desses três sistemas. Encontramos evidências de que a solução física do problema de partículas livres leva a um mínimo em sua ação. Os mesmos resultados ocorrem no problema de lançamento vertical. A solução física do oscilador harmônico leva a um ponto mínimo ou de sela em sua ação, a depender do intervalo de tempo de funcionamento do sistema.

Resumo Inglês:

Hamilton’s principle states that among all curves between two endpoints, the path actually followed by a physical system will always be the one that gives a stationary value (minimum, maximum or a saddle points) to the Hamilton’ s action (an integral over time of the difference between the kinetic and the potential energy, taken between the initial time and the final time of the development of the system). It is common to use a mathematical tool called Calculus of Variations to study Hamilton’s principle. The Calculus of Variations deals with functionals (functions of functions) and is a more general and more complex version of the usual calculus that we learn in university. In this paper, we present an alternative and simpler, approach to the study of Hamilton’s principle. We study the nature of the action’s stationary space-time trajectory of three physical systems: free-particle, vertical launch, and harmonic oscillator, using as virtual motion a linear combination of the physical solution of this three systems. We find pieces of evidence that the physical solution of the free-particle problem leads to a minimum of its action. The same results occur on the vertical launch problem. The physical solution of the harmonic oscillator leads to a minimum or a saddle point on its action depending on the time interval of the development of the system.