VARIÂNCIAS DO PONTO CRÍTICO DE EQUAÇÕES DE REGRESSÃO QUADRÁTICA

Ano: 2004 | Volume: 28 | Número: 2

Autores: Ceile Cristina Ferreira Nunes, Augusto Ramalho de Morais, Joel Augusto Muniz, Thelma Safádi

Palavras-chave: regressão quadrática, quociente de variáveis aleatórias, variância do ponto crítico, intervalo de confiança

Resumo Português:

Com o presente trabalho teve-se por objetivo a determinação de variâncias para o estudo do ponto crítico de uma equação
de regressão de segundo grau, em situações experimentais com diferentes variâncias, por meio de simulação Monte
Carlo. Em muitos estudos, teóricos ou aplicados, o pesquisador depara-se com o problema que envolve quociente entre variáveis
aleatórias e, principalmente, entre variáveis normais. Como exemplo, aquelas que surgem em pesquisas de dose econômica
de nutrientes em experimentos de adubação, de compactação de solos e em outros problemas em que há interesse na variável
aleatória xˆ = bˆ /(-2cˆ) , estimador do ponto crítico na regressão yˆ = aˆ + bˆx + cˆx2 . Para estudar a distribuição do ponto
crítico de uma equação de regressão quadrática, foram utilizados dados de produção de algodão de 536 ensaios, ajustando-se
um modelo quadrático. A estimação dos parâmetros foi feita pelo método dos quadrados mínimos ordinários. Com base nessas
estimativas, implementou-se por meio do software MATLAB® uma rotina para simulação de duas séries com 5000 erros aleatórios
de distribuição normal de média zero relativos a cada uma das variâncias consideradas teóricas: s 2 =0,1; 0,5; 1; 5; 10;
15; 20 e 50. As estimativas da variância do ponto crítico foram obtidas por meio de três métodos: (a) fórmula comum do cálculo
de variâncias; (b) fórmula obtida pela diferenciação do estimador do ponto crítico e (c) fórmula demonstrada para o cálculo da
variância de uma razão, considerando-se a covariância entre ˆb e cˆ . Pelos resultados obtidos para as estatísticas médias dos
coeficientes de regressão ˆb e cˆ , bem como suas respectivas variâncias em função das diversas variâncias teóricas (s 2 ) adotadas,
verificou-se que esses valores teóricos estão próximos aos reais. Ainda ocorre uma tendência de que, com o aumento da
variância teórica, esses valores aumentem. Pode-se concluir que a variância do ponto crítico calculada usando-se a expressão
que leva em consideração a covariância entre ˆb e cˆ apresenta resultados mais satisfatórios e que não segue uma distribuição
normal, pois apresenta uma distribuição de freqüência com assimetria positiva e formato leptocúrtico.

Resumo Inglês:

The aim of this paper is determine variances for the analysis of the critical point of a second-degree regression equation in
experimental situations with different variances through Monte Carlo simulation. In many theoretical or applied studies, one
finds situations involving ratios of random variables and more frequently normal variables. Examples are provided by
variables, which appear in economic dose research of nutrients in fertilization experiments, as well as in other problems in
which there are interests in the random variable xˆ = bˆ /(-2cˆ) , estimator of the critic point in the regression
yˆ = aˆ + bˆx + cˆx2 . Data of five hundred thirty six trials in cotton yield were utilized to study the distribution of the critical
point of a quadratic regression equation by adjusting a quadratic model. The parameters were evaluated using a least square
method. From the estimations a MATLAB routine was implemented to simulate two sets with five thousands random errors
with normal distribution and zero mean, relative to each of the theoretical variances: s 2 = 0.1; 0.5; 1; 5; 10; 15; 20 and 50. The
estimation of the variance of the critical point was obtained by three methods: (a) usual formula for the variance; (b) formula
obtained by differentiation of the critical point estimator and (c) formula for the computation of the variance of a quotient by
taking into consideration the covariance between ˆb and cˆ . The results obtained for the statistic average for the regression between ˆb e cˆ , as well as its respective variances in terms of the several theoretical residual variances ( s 2 ) adopted show
that those theoretical values are close to real ones. Moreover, there is a trend of increasing ˆb and cˆ with increase of the
theoretical variance. It may be concluded that the critical point variance calculated taking into consideration the covariance
between ˆb and cˆ , gives more satisfactory results and does not follow a normal distribution, presenting a frequency
distribution with positive assimetry and leptokurtic shape.